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零点定理证明
2025-12-12【读书】
简介零点定理是连续函数的重要性质之一，用于判断函数在某个区间内是否存在零点。其核心内容为：若函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上...
零点定理是连续函数的重要性质之一，用于判断函数在某个区间内是否存在零点。其核心内容为：若函数 $ f(x) $ 在闭区间 $[a, b]$ 上连续，且 $ f(a) $ 与 $ f(b) $ 异号，则至少存在一点 $ c in (a, b) $，使得 $ f(c) = 0 $。
以下是零点定理的证明要点总结：
| 步骤 | 内容 |
| 1 | 假设 $ f(a) cdot f(b) < 0 $，即 $ f(a) $ 与 $ f(b) $ 异号。 |
| 2 | 构造集合 $ S = { x in [a, b] mid f(x) < 0 } $。 |
| 3 | 设 $ c = sup S $，则 $ c in [a, b] $。 |
| 4 | 利用连续性，证明 $ f(c) = 0 $。 |
该定理广泛应用于数学分析和实际问题中，如求解方程、确定函数图像交点等。
