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收敛半径详解
2026-01-06【读书】
简介幂级数的收敛半径是判断其收敛范围的重要参数。通过比值法或根值法可求得收敛半径，进而确定收敛区间。 方法 公式 适用条件 比值...
幂级数的收敛半径是判断其收敛范围的重要参数。通过比值法或根值法可求得收敛半径，进而确定收敛区间。
| 方法 | 公式 | 适用条件 | ||
| 比值法 | $ R = lim_{n o infty} left | frac{a_n}{a_{n+1}} ight | $ | 系数存在极限 |
| 根值法 | $ R = frac{1}{limsup_{n o infty} sqrt[n]{ | a_n | }} $ | 适用于任意级数 |
收敛半径决定了幂级数在中心点附近的收敛范围。若 $ R = 0 $，仅在中心点收敛；若 $ R = infty $，则在整个实数轴上收敛。实际应用中，需进一步检验端点处的收敛性。
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